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条件期望和条件方差公式

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-06-14 02:30:44 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

随机变量是概率论中的概念之一,它描述了随机现象的变化规律原文www.chunyuxinxuan.com实际应用中,我们常常需要对随机变量进和计算,其中条件期望和条件方差是两个重要的概念。文将介绍条件期望和条件方差的定义、性质和计算方法条理公式网

条件期望和条件方差公式(1)

一、条件期望的定义和性质

  条件期望是指已知某些信息的情况下,对随机变量的期望进计算。具体来说,设随机变量X和Y是定义同一概率空间上的两个随机变量,P(Y=y)>0,给定Y=y的条件下,X的条件期望为:

E(X|Y=y) = ∑x P(X=x|Y=y)·x

  其中,P(X=x|Y=y)表示给定Y=y的条件下,X取值为x的概率pKF

条件期望具有以下性质:

  1. 线性性:对于任常数a和b,有E(aX+bY|Y=y) = aE(X|Y=y)+bE(Y|Y=y)

  2. 可加性:若X和Y相互独立,E(X+Y|Y=y) = E(X|Y=y)+E(Y|Y=y)

3. 反应条件概率:若P(Y=y)>0,E(X|Y=y) = ∑x P(X=x,Y=y)/P(Y=y)

条件期望和条件方差公式(2)

二、条件方差的定义和性质

  条件方差是指已知某些信息的情况下,对随机变量的方差进计算。具体来说,设随机变量X和Y是定义同一概率空间上的两个随机变量,P(Y=y)>0,给定Y=y的条件下,X的条件方差为:

  Var(X|Y=y) = E(X^2|Y=y)-[E(X|Y=y)]^2

条件方差具有以下性质:

  1. 性:对于任随机变量X和Y,有Var(X|Y=y)≥0

2. 线性性:对于任常数a和b,有Var(aX+bY|Y=y) = a^2Var(X|Y=y)+b^2Var(Y|Y=y)+2abCov(X,Y|Y=y)

  其中,Cov(X,Y|Y=y)表示给定Y=y的条件下,X和Y的协方差条理公式网

  3. 可加性:若X和Y相互独立,Var(X+Y|Y=y) = Var(X|Y=y)+Var(Y|Y=y)

三、条件期望和条件方差的计算方法

  条件期望和条件方差的计算方法与普通期望和方差的计算方法类似,只是计算过程中需要考虑给定的条件。

以条件期望为例,设随机变量X和Y服从二项分布B(n,p),给定Y=y的条件下,X的条件期望为:

E(X|Y=y) = ∑x P(X=x|Y=y)·x

= ∑x [C(n,x)p^x(1-p)^(n-x)]/[C(n,y)p^y(1-p)^(n-y)]·x

= y·p

其中,C(n,x)表示从n个物品中选取x个物品的组条~理~公~式~网

以条件方差为例,设随机变量X和Y服从正态分布N(μ,σ^2),给定Y=y的条件下,X的条件方差为:

  Var(X|Y=y) = E(X^2|Y=y)-[E(X|Y=y)]^2

  = E(X^2|Y=y)-y^2

  = E[(X-μ+μ)^2|Y=y]-y^2

= E[(X-μ)^2|Y=y]+μ^2-y^2

= σ^2+μ^2-y^2

其中,E[(X-μ)^2|Y=y]表示给定Y=y的条件下,X与μ的差的平方的期望。

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