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方差加权公式推导

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-06-10 04:09:20 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

本文目录:

方差加权公式推导(1)

  在统计中,方差是一个非常要的概念,它可以量数据的离散程度bdq。在实际应用中,们经常需要对多个数据进行加权平均,时候就需要用到方差加权公式。本文将介绍方差加权公式的推导过程条_理_公_式_网

一、加权平均

在统计中,加权平均是一种常见的求平均数的方法。它的计算方法是将每个数据乘以一个权因子,再将它们相加,最后除以权因子的总和chunyuxinxuan.com。用公式表示为:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}w_ix_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i}$$

  其中,$\bar{x}$表示加权平均数,$x_i$表示第$i$个数据,$w_i$表示第$i$个数据的权因子,$n$表示数据的总数。

方差加权公式推导(2)

二、方差的定义

方差是一个量数据离散程度的指标,它的定义是每个数据平均数的差的平方和的平均数www.chunyuxinxuan.com条理公式网。用公式表示为:

  $$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$$

  其中,$s^2$表示方差,$x_i$表示第$i$个数据,$\bar{x}$表示平均数,$n$表示数据的总数。

方差加权公式推导(3)

三、方差加权公式的推导

  在实际应用中,们经常需要对多个数据进行加权平均,时候就需要用到方差加权公式www.chunyuxinxuan.com。方差加权公式的推导过程如下:

  首先,将加权平均数的公式展开,得到:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}w_ix_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n}$$

然后,将方差的公式展开,得到:

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{n-1}$$

接着,将$\bar{x}$入到方差的公式中,得到:

$$s^2=\frac{(x_1-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2+(x_2-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2+...+(x_n-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2}{n-1}$$

  将分子中的每一项都展开,得到:

  $$s^2=\frac{\frac{w_1(x_1-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2}{w_1}+\frac{w_2(x_2-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2}{w_2}+...+\frac{w_n(x_n-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2}{w_n}}{n-1}$$

  将每一项中的分母都约,得到:

$$s^2=\frac{w_1(x_1-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2+w_2(x_2-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2+...+w_n(x_n-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2}{(n-1)(\frac{w_1^2}{w_1+w_2+...+w_n}+\frac{w_2^2}{w_1+w_2+...+w_n}+...+\frac{w_n^2}{w_1+w_2+...+w_n})}$$

  将分母中的每一项都约,得到:

  $$s^2=\frac{w_1(x_1-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2+w_2(x_2-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2+...+w_n(x_n-\frac{w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n}{w_1+w_2+...+w_n})^2}{\sum_{i=1}^{n}\frac{w_i^2}{w_1+w_2+...+w_n}(n-1)}$$

就是方差加权公式。

四、总结

  方差加权公式是对多个数据进行加权平均后求方差的一种方法条 理 公 式 网。它的推导过程比较琐,但是只需要进行一次计算,就可以得到所有数据的方差。在实际应用中,方差加权公式可以帮助们更确地量数据的离散程度,从而更好地理解数据的特征www.chunyuxinxuan.com

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