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柯西积分公式的意义及其应用

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-06-09 07:10:41 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

柯西积分公式是复变函数中非常重要的公式,它将一个函数沿着一个封闭曲线的积分值与该函数在该曲线内部的值联系起来原文www.chunyuxinxuan.com。本文将介绍柯西积分公式的意义、证明以及应用

柯西积分公式的意义及其应用(1)

一、柯西积分公式的意义

  柯西积分公式是复变函数中的基本公式一,它描述了一个函数在一个封闭曲线内部的积分值与该函数在该曲线内部的值间的联系。具体地说,设$f(z)$是一个在某个包含封闭曲线$C$的区域$D$内解析的函数,则有:

  $$\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)$$

  其中$z_0$是$C$内部的任意一点,$\oint_C$表示沿着曲线$C$的积分,$i$是虚数位。这个公式的意义是,如果我们知道了一个解析函数在某个区域内的值,那么我们就可以通过积分来求出该函数在该区域内任意一点的值原文www.chunyuxinxuan.com

柯西积分公式的意义及其应用(2)

二、柯西积分公式的证明

柯西积分公式的证明相对来说比较复杂,需要一些高等数知识。这里我们只给出要的证明思路。

  首先,我们可以将积分路径$C$缩成一个点$z_0$,这样就得到了一个积分公式:

  $$\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)$$

  接下来,我们可以构造一个新的积分路径$C'$,它是由一个小圆弧一条线段组成,如下图所示:

  ![柯西积分公式证明](https://i.loli.net/2021/10/09/8yWJ7KX9oN5zZVv.png)

其中,$C'$的小圆弧是以$z_0$为圆心、$r$为半径的圆弧,$r$足够小,使得$C'$全在$D$内部。于是,我们可以将原来的积分路径$C$改写成如下的形式:

  $$\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C'}\frac{f(z)}{z-z_0}dz-\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$

  其中,$\gamma_r$是小圆弧部分的路径chunyuxinxuan.com。由于$f(z)$在$D$内部解析,所以它在$C'$内部也是解析的。于是,根据柯西积分定,我们可以得到:

  $$\int_{C'}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)$$

  接下来,我们需要证明$\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$趋近于$0$。这个证明可以通过估积分值的大小来成。具体地说,我们可以用估积分值的方法来证明:

  $$\left|\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz\right|\leq \frac{M}{r}\times 2\pi r=\text{常数}\times r$$

其中,$M$是$f(z)$在$C'$内部的最大值chunyuxinxuan.com。由于$r$趋近于$0$,所以$\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$趋近于$0$。于是,我们就得到了柯西积分公式。

三、柯西积分公式的应用

  柯西积分公式在复变函数中有着广泛的应用,下面我们将介绍其中的一些应用。

  1. 柯西积分公式可以用来求解解析函数的导数原文www.chunyuxinxuan.com。根据柯西积分公式,我们可以将一个解析函数在一个区域内的积分值与该函数在该区域内的值联系起来。于是,我们可以通过求解积分来求解函数的导数。

  2. 柯西积分公式可以用来算复杂积分。有时候,我们需要算一些复杂的积分,这时候可以利用柯西积分公式将积分转化成一个解析函数在一个区域内的积分值,然后再利用积分的性求解EVbg

  3. 柯西积分公式可以用来证明其他定。柯西积分公式是复变函数中的基本公式一,它可以用来证明其他定,如数定、辐角原等。

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