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立方差公式怎么推导出来的

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-05-18 11:56:15 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

  立方差公式计学中常用的一种测量方法,用于衡量一组数据的离散程度条 理 公 式 网。它是方差的一种扩展形式,相对于方差而言,更敏感于数据的极端值。将从方差的推导开始,逐步出立方差公式的推导过程来自www.chunyuxinxuan.com

立方差公式怎么推导出来的(1)

1. 方差的推导

方差是衡量一组数据离散程度的一种方法,它的计公式为:

$$Var(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$$

其中,$X_i$表示第$i$个数据,$\bar{X}$表示所有数据均值,$n$表示数据的数量。

  我们可以将方差的计公式展开:

$$Var(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i^2-2X_i\bar{X}+\bar{X}^2)$$

  将上式中的方项展开,得到:

  $$Var(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-\frac{2}{n}\bar{X}\sum_{i=1}^nX_i+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bar{X}^2$$

  因为$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$,所以第项可以化为:

  $$\frac{2}{n}\bar{X}\sum_{i=1}^nX_i=\frac{2}{n}\bar{X}n\bar{X}=2\bar{X}^2$$

  将上式代入前面的公式,得到:

  $$Var(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-2\bar{X}^2+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bar{X}^2$$

  因为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bar{X}^2=\bar{X}^2$,所以第三项可以化为:

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bar{X}^2=\bar{X}^2$$

  将上式代入前面的公式,得到:

  $$Var(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-\bar{X}^2$$

  这就是方差的常见形式iJiL。我们可以看到,方差的质是每个数据均值的差的方的均值。

立方差公式怎么推导出来的(2)

2. 立方差的推导

  立方差是方差的一种扩展形式,它的计公式为:

$$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^3}$$

其中,$X_i$表示第$i$个数据,$\bar{X}$表示所有数据均值,$n$表示数据的数量条_理_公_式_网

我们可以将立方差的计公式展开:

  $$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i^3-3X_i^2\bar{X}+3X_i\bar{X}^2-\bar{X}^3)}$$

将上式中的立方项展开,得到:

$$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^3-3\bar{X}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2+3\bar{X}^2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\bar{X}^3}$$

  因为$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$,所以第、三项可以化为:

  $$3\bar{X}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i=\frac{3}{n}\bar{X}n\bar{X}=3\bar{X}^2$$

$$3\bar{X}^2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i=3\bar{X}^3$$

  将上式代入前面的公式,得到:

  $$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^3-3\bar{X}^2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i+\bar{X}^3}$$

因为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i=\bar{X}$,所以第项可以化为:

  $$3\bar{X}^2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i=3\bar{X}^3$$

  将上式代入前面的公式,得到:

  $$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^3-3\bar{X}^2n\bar{X}+\bar{X}^3n}$$

  因为$n\bar{X}=\sum_{i=1}^nX_i$,所以第项可以化为:

  $$3\bar{X}^2n\bar{X}=3\bar{X}^3n$$

  将上式代入前面的公式,得到:

  $$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^3-3\bar{X}^3n+\bar{X}^3n}$$

将上式中的$n\bar{X}=\sum_{i=1}^nX_i$代入,得到:

$$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^3-\bar{X}^3}$$

  这就是立方差的常见形式。我们可以看到,立方差的质是每个数据均值的差的立方的均值dUw

3. 立方差与方差的关系

  我们可以将立方差的计公式展开:

  $$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^3}$$

  将上式中的立方项展开,得到:

$$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i^3-3X_i^2\bar{X}+3X_i\bar{X}^2-\bar{X}^3)}$$

  将上式中的方差公式代入,得到:

  $$C_3(X)=\sqrt[3]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i^3-3X_i^2\bar{X}+3X_i\bar{X}^2-\bar{X}^3+3\bar{X}^2(X_i-\bar{X})-3\bar{X}^2(X_i-\bar{X}))}$$

  将上式展开,得到:

$$C_3(X)=\sqrt[3]{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^3-\bar{X}^3)-3\bar{X}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-\bar{X}^2)+3\bar{X}^2(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\bar{X})}$$

因为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i=\bar{X}$,所以第三项可以化为:

  $$3\bar{X}^2(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i-\bar{X})=0$$

  将上式代入前面的公

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