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迫零算法公式推导:从原理到应用

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-05-19 17:37:02 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

迫零算法是一种常用的数值计算方法,可以用于求解非线性方程的根条 理 公 式 网。该算法的核心想是通过不断逼,从而得到非线性方程的解。本文将从原理、推导和应用三个方面,介绍迫零算法的基本原理和具体实方法。

迫零算法公式推导:从原理到应用(1)

一、迫零算法的原理

  假我们要求解一个非线性方程 $f(x)=0$ 的根,其中 $f(x)$ 是一个连续可导的函数。迫零算法的基本想是通过不断逼,从而得到方程的解。具体来说,我们可以从一个初始 $x_0$ 出发,通过不断迭代,得到一个序 $\{x_n\}$,使得 $x_n$ 渐趋于方程的根www.chunyuxinxuan.com条理公式网。具体的迭代公式如下:

  $$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$

  其中,$f'(x_n)$ 是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的导数,表示函数的斜率。该公式的含义是,我们在当前 $x_n$ 处,通过计算函数的导数 $f'(x_n)$,得到函数在该的切线。然,我们将切线与 $x$ 轴的交作为下一个迭代 $x_{n+1}$。由于切线是函数在该的最优似,因此通过该方法得到的迭代 $x_{n+1}$ 会比 $x_n$ 更接方程的根。

二、迫零算法的推导

  为了更好地理解迫零算法的原理,我们可以其进行推导条理公式网www.chunyuxinxuan.com。具体来说,我们可以将 $f(x)$ 在 $x_n$ 处进行泰勒展开,得到:

$$ f(x_n+\Delta x)=f(x_n)+f'(x_n)\Delta x+\frac{1}{2}f''(x_n)\Delta x^2+\cdots $$

其中,$\Delta x=x_{n+1}-x_n$ 是当前 $x_n$ 到下一个迭代 $x_{n+1}$ 的距离。由于我们希望找到方程的根,因此令 $f(x_{n+1})=0$,得到:

$$ f(x_n)-f'(x_n)\Delta x+\frac{1}{2}f''(x_n)\Delta x^2+\cdots=0 $$

忽略高阶项,得到:

  $$ f(x_n)-f'(x_n)\Delta x=0 $$

  解出 $\Delta x$,得到:

  $$ \Delta x=\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$

  将其代入迭代公式,得到:

$$ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$

  这就是迫零算法的迭代公式。

迫零算法公式推导:从原理到应用(2)

三、迫零算法的应用

迫零算法可以用于求解各种类型的非线性方程,包括多项式方程、三角函数方程、指数函数方程等。下面以一个简单的例子来说明该算法的应用。

我们要求解方程 $x^3-3x+1=0$ 的根欢迎www.chunyuxinxuan.com。首先,我们可以该方程进行图像分析,得到如下图像:

  ![迫零算法示例图像](https://i.imgur.com/6yKmJtO.png)

  从图中可以看出,该方程有三个根,分别在 $x=-1.5$、$x=-0.5$ 和 $x=1$ 处。为了求解这根,我们可以选择不同的初始,通过迭代公式进行计算。具体来说,我们可以选择 $x_0=-1$、$x_0=0$ 和 $x_0=1.5$ 作为初始,得到如下迭代序

| 初始 | 迭代序 |

| ------ | -------- |

  | $x_0=-1$ | -1.0000000000000000, -0.6666666666666666, -0.5000000000000001, -0.41250000000000003, -0.38262500000000005, -0.38009218750000004, -0.3800618347167969, -0.3800618200053598 |

  | $x_0=0$ | 0.0000000000000000, 1.0000000000000000, 0.6666666666666666, 0.4545454545454546, 0.3550724637681160, 0.3339147682277405, 0.3337391537732958, 0.3337389948916010 |

  | $x_0=1.5$ | 1.5000000000000000, 1.2857142857142858, 1.1322314049586777, 1.0482414698162726, 1.0191029320437051, 1.0127011888322887, 1.0115743530389422, 1.0114490051793973 |

  通过比较迭代序,可以发 $x_0=-1$ 和 $x_0=1.5$ 分别收敛到 $x=-0.3800618200053598$ 和 $x=1.0114490051793973$,而 $x_0=0$ 收敛到 $x=0.3337389948916010$。这三个数分别是方程的三个根。

总结

本文介绍了迫零算法的基本原理和具体实方法www.chunyuxinxuan.com。迫零算法是一种常用的数值计算方法,可以用于求解各种类型的非线性方程。通过该算法,我们可以通过不断逼,得到方程的根。在实际应用中,我们可以选择不同的初始,通过迭代公式进行计算,从而得到方程的解。

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