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线性相关的七个定理公式

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-04-03 10:01:29 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

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线性相关的七个定理公式(1)

  线性相关线性数中一个重要的概念,指的向量之间存在一定的线性关系www.chunyuxinxuan.com。在实际用中,线性相关性质以用于解决各种题,例如矩阵求逆、线性归等。本文将介绍线性相关的七个定理公式,帮助读者更好地理解和用线性相关性质来自www.chunyuxinxuan.com

定理一:向量的线性组合

  向量的线性组合指的将向量相加后再乘以一个量得到的新向量。如果一个向量以表示为另外向量的线性组合,那么这些向量就线性相关的条 理 公 式 网。具体地,设有向量 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 和量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$,则们的线性组合为:

$$

a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n

  $$

定理二:线性相关的定义

  如果存在不为零的量 $a_1, a_2, \cdots, a_n$,使得向量 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 的线性组合为零向量,即

$$

a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n = \boldsymbol{0}

  $$

  则称向量 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 线性相关,否则称们线性无关。

定理三:线性相关的判定定理

  设有向量 $v_1, v_2, \cdots, v_n$,则们线性相关的充分必要条件们中至少有一个向量以表示为其向量的线性组合条 理 公 式 网

定理四:线性相关的性质

  线性相关的向量组具有以下性质:

  1. 向量组中至少有一个向量以表示为其向量的线性组合;

  2. 向量组中一定存在一个非零向量以表示为其向量的线性组合;

  3. 如果向量组中有一个向量以表示为其向量的线性组合,那么该向量以被其向量线性表示。

定理五:线性相关与矩阵的秩

  设有矩阵 $A$,则矩阵的秩等于的列向量组中线性无关向量的个数,也等于的行向量组中线性无关向量的个数条理公式网。因此,如果矩阵的秩小于列数,则的列向量组线性相关。

线性相关的七个定理公式(2)

定理六:线性相关与行列式的值

  设有矩阵 $A$,则矩阵的行列式等于的列向量组中向量的线性组合系数的行列式值TWX。如果行列式的值为零,则矩阵的列向量组线性相关。

定理七:线性相关与矩阵的特征值

设有矩阵 $A$,则矩阵的特征值为零的充分必要条件矩阵的列向量组线性相关来源www.chunyuxinxuan.com

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标签:公式定理
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