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常用函数导数公式推导

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-07-10 19:16:56 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

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常用函数导数公式推导(1)

  导数是微积分中的重要概念,它描述了函数在某一点的变化率条~理~公~式~网。对于常用函数,我们可以通过公式来计算它们的导数,这公式是通过对函数的基本性质运算规律进行推导得到的。本文将介绍常用函数的导数公式推导过

1. 常数函数的导数公式

  常数函数$f(x)=c$的导数0,即$\frac{d}{dx}c=0$条 理 公 式 网。这是因常数函数在任何点的变化率是0,所以它的导数也是0。

2. 幂函数的导数公式

幂函数$f(x)=x^n$的导数$f'(x)=nx^{n-1}$。了推导这个公式,我们可以用导数的定义:

  $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

  对于幂函数,我们

  $$f(x+h)=(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\dots+h^n$$

将$f(x+h)$$f(x)$代导数定义式中,得到:

  $$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\dots+h^n}{h}=nx^{n-1}$$

  其中,我们用了二项式定理展开$(x+h)^n$,并且忽略了$h$的高阶项条理公式网www.chunyuxinxuan.com。因此,幂函数的导数公式$f'(x)=nx^{n-1}$。

常用函数导数公式推导(2)

3. 指数函数的导数公式

指数函数$f(x)=a^x$的导数$f'(x)=a^x\ln a$。了推导这个公式,我们可以用对数函数的定义:

$$\ln x=\int_1^x\frac{1}{t}dt$$

  对于指数函数,我们

$$f(x+h)=a^{x+h}=a^xa^h$$

  将$f(x+h)$$f(x)$代导数定义式中,得到:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{a^xa^h-a^x}{h}=\lim_{h\to0}a^x\frac{a^h-1}{h}=a^x\ln a$$

其中,我们用了指数函数对数函数的性质chunyuxinxuan.com。因此,指数函数的导数公式$f'(x)=a^x\ln a$。

4. 对数函数的导数公式

  对数函数$f(x)=\log_ax$的导数$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$。了推导这个公式,我们可以用对数函数指数函数的性质:

$$a^{\log_ax}=x$$

  对上式两边求导数,得到:

  $$\frac{d}{dx}a^{\log_ax}=\frac{d}{dx}x$$

$$a^{\log_ax}\ln a\frac{1}{x} = 1$$

  $$\log_ax\frac{1}{x\ln a}=1$$

因此,对数函数的导数公式$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$chunyuxinxuan.com

常用函数导数公式推导(3)

5. 三角函数的导数公式

  三角函数的导数公式比复杂,下面仅列出结果:

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$

  $$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

  $$\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x$$

$$\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x$$

  $$\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$$

  $$\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x$$

  这公式的推导需要用三角函数的性质导数的定义,比繁琐,这不再详细介绍。

总结

本文介绍了常用函数的导数公式推导过,包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数三角函数。这公式是微积分中的基础,对于理解应用微积分具重要意义条理公式网

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