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合并样本方差公式推导

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-06-19 07:25:41 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

样本方差是统计学中常用的一种测量数据离散程度的方条_理_公_式_网。在实际应用中,我们可能需要合并两个或多个样本的方差,以得准确的结。本文将绍如何推导合并样本方差的公式

  首先,我们需要解样本方差的定和公式。对于一个包含n个数据的样本,方差可以表示为:

  $$ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 $$

  中,$x_i$表示第i个数据,$\bar{x}$表示样本的平均值条.理.公.式.网。这个公式的含是将每个数据与平均值的差平方后相加,再除以自由度(n-1)。

现在假我们有两个样本,分别为$X=\{x_1,x_2,...,x_n\}$和$Y=\{y_1,y_2,...,y_m\}$。我们想要合并这两个样本的方差,以得准确的结

  我们可以用以下公式来计算两个样本的合并方差:

  $$ s_p^2 = \frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{n+m-2}+\frac{nm}{n+m}( \bar{x}-\bar{y})^2 $$

  中,$s_X^2$和$s_Y^2$分别表示样本X和Y的方差,$\bar{x}$和$\bar{y}$分别表示样本X和Y的平均值,$n$和$m$分别表示样本X和Y的大小www.chunyuxinxuan.com条理公式网

  这个公式的含是将两个样本的方差加权平均,中权重是自由度。同时,我们还加入一个修正项,以考虑两个样本之间的差异。这个修正项的含是将两个样本的平均值之间的差异乘以一个系数,并将加入方差的计算中。

接下来,我们将对这个公式进行推导来自www.chunyuxinxuan.com

首先,我们需要计算样本X和Y的加权平均方差。这可以通过以下公式计算:

合并样本方差公式推导(1)

  $$ s_w^2 = \frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{n+m-2} $$

  这个公式的含是将两个样本的方差加权平均,中权重是自由度。这个公式的推导方与计算一个样本的方差类似,只是我们需要将两个样本的方差加权平均。

接下来,我们需要计算修正项条~理~公~式~网。我们可以将样本X和Y的平均值之间的差异表示为:

$$ \bar{x}-\bar{y} $$

  我们可以将这个差异乘以一个系数,以考虑两个样本之间的差异。这个系数可以表示为:

  $$ k = \frac{nm}{n+m} $$

这个系数的含是将两个样本的大小乘起来,再除以两个样本大小的和。这个系数的的是使修正项与样本大小成比例,以考虑样本大小对方差的影响。

现在,我们可以将加权平均方差和修正项相加,以得合并样本的方差:

$$ s_p^2 = s_w^2 + k(\bar{x}-\bar{y})^2 $$

将加权平均方差和修正项代入这个公式,我们可以得

$$ s_p^2 = \frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{n+m-2}+\frac{nm}{n+m}( \bar{x}-\bar{y})^2 $$

这就是合并样本方差的公式条.理.公.式.网

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