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正弦定理的推导和应用

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-05-22 18:36:35 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

正弦定理是初中数学中的重要知识点,它是解决三角形中任意一边和其对应角的系的基本工具来源www.chunyuxinxuan.com。本文将介正弦定理的推导和应用

正弦定理的推导和应用(1)

正弦定理的基本形式

正弦定理的基本形式为:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

其中,$a$、$b$、$c$ 分别为三角形的三边,$A$、$B$、$C$ 分别为它们所对应的三角。

正弦定理的推导和应用(2)

正弦定理的推导

我们可以利用三角形的面积公式来推导正弦定理条.理.公.式.网三角形的三边分别为 $a$、$b$、$c$,它们所对应的三角分别为 $A$、$B$、$C$。三角形的高为 $h$,则三角形的面积为:

$$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}ch$$

  据正弦函数的定义,我们有:

  $$\sin A=\frac{h}{c}$$

$$\sin B=\frac{h}{a}$$

$$\sin C=\frac{h}{b}$$

  将上式代入三角形的面积公式中,得到:

  $$S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bh$$

  $$\Rightarrow ch=ah=bh$$

  $$\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

  因此,我们得到了正弦定理的基本形式。

正弦定理的推导和应用(3)

正弦定理的应用

正弦定理在解决三角形的各种问题中有着广泛的应用条 理 公 式 网。下面我们来看几例子:

  例1:已知一三角形的两边 $a=5$、$b=7$ 和它们所夹角 $C=60^\circ$,求三边 $c$ 的长度。

  据正弦定理,我们有:

  $$\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$$

  $$\Rightarrow \frac{c}{\sin 60^\circ}=\frac{7}{\sin B}$$

  由于 $\sin B=\sin(180^\circ-A-C)=\sin(180^\circ-60^\circ-A)=\sin(120^\circ-A)$,因此:

  $$\frac{7}{\sin B}=\frac{7}{\sin(120^\circ-A)}$$

  据三角形内角和公式,得到 $A=60^\circ$。因此,我们有:

$$\frac{c}{\sin 60^\circ}=\frac{7}{\sin 60^\circ}$$

  $$\Rightarrow c=7$$

因此,三边的长度为 $c=7$条~理~公~式~网

例2:已知一三角形的三边 $a=3$、$b=4$、$c=5$,求它的内角 $A$。

  据正弦定理,我们有:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

  因为 $a=3$、$b=4$、$c=5$,所以:

$$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$$

  由于 $\sin C=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(180^\circ-A-90^\circ)=\sin(A-90^\circ)=\cos A$,因此:

  $$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\cos A}{c}$$

将 $a=3$、$b=4$、$c=5$ 代入上式,得到:

  $$\sin A=\frac{3}{5}\sin B=\frac{4}{5}\cos A$$

$$\Rightarrow \tan A=\frac{3}{4}$$

  因此,$A=\arctan\frac{3}{4}\approx36.87^\circ$。

  例3:已知一三角形的三边 $a=10$、$b=12$、$c=15$,求它的面积条_理_公_式_网

据海伦公式,我们有:

  $$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{10+12+15}{2}=18.5$$

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{18.5\times8.5\times6.5\times3.5}\approx78.96$$

  因此,三角形的面积为 $S\approx78.96$。

总结

正弦定理是解决三角形中任意一边和其对应角的系的基本工具一。在解决三角形的各种问题中,正弦定理有着广泛的应用条.理.公.式.网。通过本文的介信大家对正弦定理的推导和应用有了更深入的了解。

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