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正态分布加减乘除计算公式

来源:www.chunyuxinxuan.com 时间:2024-05-23 10:06:47 作者:条理公式网 浏览: [手机版]

  正态分布统计学中最常见的分布之一,它在自然界中也有很多应条 理 公 式 网。在实际应中,我们会遇到正态分布的加减乘除计算问题。文将介绍正态分布的加减乘除计算公式及其应

正态分布加减乘除计算公式(1)

一、正态分布的基概念

  正态分布又称高斯分布,一种连续概率分布。它的概率密度函数

  $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

其中,$\mu$ 正态分布的均值,$\sigma$ 正态分布的标准差。

  正态分布的特点在均值 $\mu$ 处有一个峰值,而且分布的两侧呈现称性。根据 68-95-99.7 规则,大有 68% 的数据落在均值 $\pm$ 1 个标准差内,95% 的数据落在均值 $\pm$ 2 个标准差内,99.7% 的数据落在均值 $\pm$ 3 个标准差内。

二、正态分布的加减计算公式

1. 两个正态分布的加法

  设 $X_1$ 和 $X_2$ 两个立的正态分布,均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$,标准差分别为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$OLps。则它们的和 $Y=X_1+X_2$ 也一个正态分布,均值为 $\mu_Y=\mu_1+\mu_2$,标准差为 $\sigma_Y=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$。

  这个公式的证明可使特征函数法,也可使卷积公式。这里不再赘述。

  2. 两个正态分布的减法

  设 $X_1$ 和 $X_2$ 两个立的正态分布,均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$,标准差分别为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$。则它们的差 $Y=X_1-X_2$ 也一个正态分布,均值为 $\mu_Y=\mu_1-\mu_2$,标准差为 $\sigma_Y=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$。

这个公式的证明可使特征函数法,也可使卷积公式。这里不再赘述chunyuxinxuan.com

正态分布加减乘除计算公式(2)

三、正态分布的乘除计算公式

  1. 两个正态分布的乘法

  设 $X_1$ 和 $X_2$ 两个立的正态分布,均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$,标准差分别为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$。则它们的乘积 $Y=X_1X_2$ 不一个正态分布,但通过数变换将其转化为一个正态分布,即 $Z=\ln Y=\ln X_1+\ln X_2$。

由于 $\ln X_1$ 和 $\ln X_2$ 都正态分布,所 $Z$ 也正态分布。均值为 $\mu_Z=\ln\mu_1+\ln\mu_2$,标准差为 $\sigma_Z=\sqrt{(\frac{\sigma_1}{\mu_1})^2+(\frac{\sigma_2}{\mu_2})^2}$。

2. 两个正态分布的除法

  设 $X_1$ 和 $X_2$ 两个立的正态分布,均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$,标准差分别为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$。则它们的商 $Y=\frac{X_1}{X_2}$ 不一个正态分布,但通过数变换将其转化为一个正态分布,即 $Z=\ln Y=\ln X_1-\ln X_2$。

  由于 $\ln X_1$ 和 $\ln X_2$ 都正态分布,所 $Z$ 也正态分布原文www.chunyuxinxuan.com。均值为 $\mu_Z=\ln\mu_1-\ln\mu_2$,标准差为 $\sigma_Z=\sqrt{(\frac{\sigma_1}{\mu_1})^2+(\frac{\sigma_2}{\mu_2})^2}$。

正态分布加减乘除计算公式(3)

四、应举例

  1. 加法计算

  假设甲班和乙班的考试成绩都服正态分布,均值分别为 80 和 85,标准差分别为 5 和 6。现在要甲班和乙班成绩的总分的分布情况。

  根据加法计算公式,总分的均值为 80+85=165,标准差为 $\sqrt{5^2+6^2}=7.81$。因此,总分的分布为 $N(165,7.81^2)$。

  2. 乘法计算

假设一家公司的年收入和年利都服正态分布,均值分别为 100 万元和 10 万元,标准差分别为 10 万元和 2 万元。现在要该公司的利率的分布情况条_理_公_式_网

  根据乘法计算公式,利率的均值为 $\ln 10-\ln 100=-2.30$,标准差为 $\sqrt{(\frac{2}{10})^2+(\frac{10}{100})^2}=0.20$。因此,利率的分布为 $N(-2.30,0.20^2)$。

3. 除法计算

  假设一家公司的年收入和年利都服正态分布,均值分别为 100 万元和 10 万元,标准差分别为 10 万元和 2 万元。现在要该公司的成率的分布情况,其中成率等于成收入。

  根据除法计算公式,成率的均值为 $\ln\frac{10}{100}=-2.30$,标准差为 $\sqrt{(\frac{2}{10})^2+(\frac{10}{100})^2}=0.20$。因此,成率的分布为 $N(-2.30,0.20^2)$。

五、总结

文介绍了正态分布的加减乘除计算公式及其应chunyuxinxuan.com。这些公式在实际应中非常有,可帮助我们更好地理解正态分布的特性,更准确地进行数据分析和预测。

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